สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ของเมเชอร์: เมเชอร์ของยูเนียนนับได้ จะเท่ากับผลรวมของเมเชอร์ของสับเซตในยูเนียนนั้น

คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้

1. ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
2. สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
3. เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง

จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น จะเห็นว่าแม้ในนิยามอย่างเป็นทางการของทฤษฎีเมเชอร์ในหัวข้อต่อไปจะดูซับซ้อน แต่แนวคิดของทฤษฎีเมเชอร์นั้นง่ายและสมเหตุสมผลเป็นอย่างยิ่ง.

นิยามอย่างเป็นทางการ

ให้ μ เป็นฟังก์ชันที่ส่งค่าจากโดเมนประเภทซิกมาแอลจีบรา Σ ที่นิยามบนเซต X ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงขยาย [0, ∞] จะเรียก μ ว่าเป็น เมเชอร์ (measure) ก็ต่อเมื่อ μ มีสมบัติต่อไปนี้

1. ความไม่เป็นลบ: ทุกค่า E ใน Σ จะต้องได้ว่า μ ( E ) ≥ 0 {\displaystyle \mu (E)\geq 0}
2. เซตว่างมีเมเชอร์เท่ากับศูนย์: μ ( ∅ ) = 0 ; {\displaystyle \mu (\varnothing )=0;}
3. มี สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity) : ถ้ากำหนดให้ E1, E2, E3, ... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆ ใน Σ แล้ว,

μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) = ∑ i = 1 ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}

เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ (X,Σ,μ) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า ปริภูมิเมเชอร์ (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน Σ จะถูกเรียกว่าเซตที่หาเมเชอร์ได้ (measurable sets)

ปริภูมิความน่าจะเป็น

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ เมเชอร์ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม คือ เมเชอร์ของปริภูมิมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ μ ( X ) = 1. {\displaystyle \mu (X)=1.}

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},P)} แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก X มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ μ แทนค่าเฉลี่ย